TUTORIAL “PORTAFOGLIO MANAGEMENT” – Parte 2 – Cos’è la Frontiera Efficiente?


Parte 2 – La Frontiera Efficiente

Estendiamo la nostra analisi, considerando cosa succede se includiamo nel porta-foglio un terzo titolo. Il terzo titolo può aggiungersi a una qualsiasi combinazione degli altri due, dando luogo a nuovi trade-offs tra rischio e rendimento atteso. Ciò consente agli investitori di muoversi ancor di più in direzione nord-ovest. Possiamo poi includere un quarto titolo, che può aggiungersi a una qualsiasi combinazione de-gli altri tre, dando luogo a nuove opportunità d’investimento. Continuando così fino a considerare tutti i possibili portafogli che si possono ottenere combinando tra loro i titoli rischiosi disponibili nel mercato otteniamo la cosiddetta «frontiera efficiente» (efficient frontier). La frontiera efficiente, illustrata nel Grafico 2, individua il limite oltre il quale non possiamo spingerci in direzione nord-ovest. Non esistono investimenti che dominano i portafogli che giacciono lungo la frontiera efficiente. In altri termini, non esistono investimenti caratterizzati da un tasso di rendimento atteso più elevato a parità di deviazione standard. L’area tratteggiata che si trova al di sotto della frontiera efficiente nel Grafico 2 rappresenta l’insieme di tutte le opportunità d’investimento. Per ogni punto dell’area tratteggiata possiamo trovare un punto sulla frontiera efficiente che sia caratterizzato da un tasso di rendimento atteso più elevato, a parità di deviazione standard, o da una deviazione standard più bassa, a parità di tasso di rendimento atteso. Per costruire la frontiera efficiente riportata nel Grafico 1 sono stati considerati solo i titoli rischiosi. Ci possiamo ora chiedere che aspetto assuma la frontiera efficiente se consideriamo anche i portafogli che includono un titolo privo di rischio. Sia RF il tasso di rendimento privo di rischio. Nel Grafico 2, il titolo privo di rischio, che per definizione ha un tasso di rendimento con deviazione standard nulla, è individuato dal punto F. Tracciamo ora dal punto F la tangente alla frontiera efficiente dei titoli rischiosi. Sia M il punto di tangenza. La linea FM è ora la nostra nuova frontiera efficiente.

Frontiera efficiente dei titoli rischiosi

 

Grafico 1 – Frontiera efficiente dei titoli rischiosi.

 

Frontiera efficiente dei titoli rischiosi e non rischiosiGrafico 2 – Frontiera efficiente (titoli rischiosi e non rischiosi).

Il punto I si ottiene investendo nel portafoglio M la quota dei fondi disponibili e nel titolo privo di rischio la quota restante, 1-b1Il punto J si ottiene prendendo a prestito, al tasso privo di rischio, la quota

b1-1

dei fondi disponibili ed investendo nel portafoglio M tutti fondi disponibili.

Vediamo cosa succede se costruiamo un nuovo portafoglio, I, investendo nel portafoglio M una quota b0b1

dei fondi disponibili e nel titolo privo di rischio, F, la quota restante

1-b1

In base all’Equazione del tasso di rendimento del portafoglio (descritta nella Parte 1 – Rendimento e Rischio), il tasso di rendimento atteso, E(R1), del nuovo portafoglio è pari a ERmentre, in base all’Equazione della deviazione standard del tasso di rendimento del portafoglio, la deviazione standard è pari a o1 estesodove o1e OMindicano, rispettivamente, la deviazione standard del tasso di rendimento dei portafogli I e M. La combinazione rischio / rendimento del nuovo portafoglio è indicata con il simbolo I nel Grafico 2. Dal punto di vista sia del tasso di rendimento atteso sia della deviazione standard, il punto I rappresenta la frazione della distanza tra F a M. Tutti i punti che giacciono sul segmento FM possono essere ottenuti scegliendo un’idonea combinazione dell’investimento rappresentato dal punto F e dell’investimento rappresentato dal punto M. I punti da cui è formato il segmento FM dominano tutti i punti che giacciono sulla precedente frontiera efficiente perché offrono un migliore trade-off tra rischio e rendimento atteso. Pertanto, la nuova frontiera efficiente è rappresentata dal segmento FM. Se facciamo l’ipotesi semplificatrice che si possa prendere in prestito denaro allo stesso tasso, RF, a cui lo si dà in prestito, possiamo costruire portafogli che giacciono sulla linea che parte da F, passa per M e continua oltre M. Supponiamo, ad esempio, di voler costruire il portafoglio rappresentato dal punto J nel Grafico 2. La distanza di J da F è pari a BJBJvolte la distanza tra M e F. Per costruire il portafoglio J dobbiamo prendere in prestito al tasso RF un importo pari al prodotto tra e le nostre disponibilità iniziali e quindi investire nel portafoglio M tutto quello che abbiamo (le disponibilità iniziali e i fondi presi in prestito). Il tasso di rendimento atteso, E(RJ), del portafoglio così ottenuto è pari a ERJmentre la deviazione standard, , è pari aOJSi è così dimostrato che la combinazione rischio / rendimento corrisponde effettiva-mente al punto J. Possiamo quindi concludere che, se includiamo tra le opportunità d’investimento anche il titolo privo di rischio, la frontiera efficiente è rappresentata da una linea retta. In altri termini, il trade-off tra il valore atteso e la deviazione standard dei tassi di rendimento è di tipo lineare, come si vede nel Grafico 2. Tutti gli investitori dovrebbero destinare una certa quota delle loro disponibilità allo stesso portafoglio di titoli rischiosi, quello che nel Grafico 2 è indicato con la lettera M. A seconda dell’atteggiamento nei confronti del rischio, quest’investimento verrà associato all’acquisto del titolo non rischioso o verrà invece in parte finanziato con denaro preso in prestito al tasso privo di rischio. A questo punto è facile arguire che il portafoglio rischioso M deve essere composto da tutti i titoli rischiosi disponibili sul mercato. Altrimenti come potrebbero gli investitori destinare una certa quota delle loro disponibilità al medesimo portafoglio M? La quantità di ogni titolo presente nel portafoglio M deve essere proporzionale alla quantità in circolazione nel mercato. E per questo che il portafoglio M è detto «portafoglio di mercato» (market portfolio).


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